Tschebyschow-Polynome

Tschebyschow-Polynome: Tschebyschọw-Polynome

[nach P. L. Tschebyschow], die für n ∈ ℕ auf den komplexen Zahlen definierten Funktionen T_n (x) : cos (n arccos x) und

(Tschebyschow-Polynome 1. Art beziehungsweise Tschebyschow-Polynome 2. Art). Ihre Rekursionsformeln lauten T_n₊₁ (x) = 2x T_n (x) — T_n_—1 (x) und U_n₊₁ (x) = 2x U_n (x) — U_n_—1 (x) mit den Anfangsgliedern T₀ (x) = U₀ (x) = 1 und T₁ (x) =¹/₂ U₁ (x) = x. Dass T_n und U_n tatsächlich algebraische Polynome vom Grad n sind, kann mithilfe trigonometrischer Funktionen gezeigt werden. Für n > 0 sind T_n und U_n linear unabhängige Lösungen der tschebyschowschen Differenzialgleichung (1 — x²) y'' — xy' + n² y = 0. Die Tschebyschow-Polynome sind für die Approximationstheorie von besonderem Interesse: Unter allen Polynomen

ist 2^1-ⁿ T_n (x) das eindeutig bestimmte Polynom, für das das Maximum von |P_n (x)| auf [—1, 1] am kleinsten ist, und 2^-ⁿ U_n (x) dasjenige Polynom, für das

am kleinsten ist; in beiden Fällen beträgt dieser minimale Wert 2^1-ⁿ.

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